Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à 2 états - Exemple du centre de loisirs

On reprend l'exemple vu précédemment des choix d’activités des enfants dans un centre de loisirs. Le gérant du centre de loisirs se demande quels profils d'animateurs il doit recruter.

Pour un enfant choisi au hasard, l’état  $\text{A}$ correspond à : « On a choisi un enfant qui fait une activité artistique ce jour-là » et l’état  $\text{B}$ correspond à : « On a choisi un enfant qui fait du sport ce jour-là ». 

Le premier jour, on a réparti les enfants à égalité dans les activités artistiques et sportives, donc $X_0=(0,5,0,5)$ .

Les choix des enfants évoluent chaque jour de la façon suivante.

• Si l’enfant a fait une activité artistique le jour $k$ , la probabilité qu’il poursuive une activité artistique le lendemain (jour $k+1$ ) est de  $22\mathrm{\%}$ et la probabilité qu’il change pour du sport est de $78\mathrm{\%}$ .
  
• Si l’enfant a fait du sport le jour $k$ , la probabilité qu’il poursuive du sport le lendemain (jour $k+1$ ) est de  $47\mathrm{\%}$ et la probabilité qu’il change pour une activité artistique est de $53\mathrm{\%}$ .

Cette évolution suit une chaîne de Markov, modélisée par le graphe probabiliste ci-dessous, dont la matrice de transition est  $T$  :  $T_{=}\left(\begin{array}{cc}0,22& 0,78\\ 0,53& 0,47\end{array}\right)$ .

On a vu que la matrice de transition ayant tous ses coefficients non nuls, il existe une unique distribution de probabilités invariante $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ , qui donne l'évolution asymptotique de la chaîne de Markov.

On résout donc le système suivant  $\{\begin{array}{l}X\text{ est une distribution de probabilités }\\ X=XT\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a+b=1\text{ , }0\le a\le 1\text{ et }0\le b\le 1\\ a=0,22a+0,53b\end{array}$

On trouve
$\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{0,53}{1+0,53-0,22}}& 1-{\displaystyle \frac{0,53}{1+0,53-0,22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{53}{131}}& {\displaystyle \frac{78}{131}}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{cc}0,4046& 0,5954\end{array}\right)$

À long terme, la répartition va se stabiliser vers une distribution où  $40,46\mathrm{\%}$ des enfants seront dans un groupe d’activité artistique, et  $59,54\mathrm{\%}$ des enfants seront dans un groupe de sport.

Le gérant du centre de loisirs peut donc embaucher ses animateurs en fonction de cette répartition.